兔年说兔③ | 鸡兔同笼与兔子数列
2023-01-23 15:56:26

兔子大概是每个中国人最早认识的动物之一。家养的,书本上读的,最重要的是,不管喜不喜欢数学,都会在小学遇上一道“鸡兔同笼”题。这道题和一边进水一边放水的“池子蓄水池”题一样,曾是很多人的噩梦。

“鸡兔同笼”题有超过1500多年的历史。我们能见到它最早的文字记录是在大约公元四世纪的《孙子算经》上。这本数学书作者不详,所涉题目大都和生活密切相关。比如丈量土地、测量河宽。而在1500年前,兔子已是常见动物,且已被家养,能出现“鸡兔同笼”这种略显变态的数学题,不足为怪。

《孙子算经》里的“鸡兔同笼”书影

在《孙子算经》中,这条题是这样的:

“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉兔各几何。”

同时,这本书也给出了一种算法:抬足法,相信上过小学的读者对此不会陌生。具体的算法就是:假设让鸡抬起一条腿,兔子抬起两条腿,94/2=47,脚与头的总数差为47-35=12,笼子里每只兔子比鸡的脚数多一个,此时的12就是兔子的只数,知道了兔子的数量,35-12=23,这就是鸡的数量。

“鸡兔同笼”问题后来又收录于明代数学家程大位所著《算法统宗》中。他把题目中的“雉”改为 “鸡”,“鸡兔同笼”的说法由此而来,并沿用至今。

这道经典数学题后来传到日本,改头换面,成了“鹤龟算”:

“某处有鹤龟百头,只云足数和为二百七十二,问鹤龟各几何?”

这道题就不给答案了,有兴趣的读者自己算一下。

    石湾窑蓝白釉兔形砚滴 现藏北京故宫博物院


不光国内的数学家关注兔子,国外数学家也关注,但关注的点不一样。

意大利人对兔子并不陌生,在古罗马时期,军人将兔子当作军粮。在不打仗的时候,还把兔子放出来,嬉戏玩耍。兔子每年6-8窝的强大繁殖能力也引起了意大利人的关注。现代科学也证实了兔子可以异期复孕,也就是兔子一个子宫内可以产生不同的胎盘,在已经怀孕的情况下,还可以再怀一胎,这可以让兔子在繁殖期多产生35%的后代。

13世纪,意大利数学家伦纳德就兔子繁殖问题提出一个经典数学问题:

某人将1对兔子放于四面围墙的地方。假如每个月每对兔子能生出2只兔子,第2个月新生兔子也开始繁殖,那么在一年里,这对兔子能繁衍出多少对兔子?

这道题很早就有了答案:第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对。两个月后(也就是第三个月),生下一对小兔子,对数共有两对。三个月以后,老兔子又生下一对,小兔子长成为大兔子,还没有繁殖能力,所以一共是三对兔子,四个月后就是五对兔子……数学家在对兔子每个月的繁殖数进行统计后,确定到年末共有233对兔子。

而在对每个月的兔子数量进行排列时,发现一个规律:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……即每一项都是前面相邻两项之和。这个数列被称为“兔子数列”。

这个兔子数列在现代物理学中作用甚大,甚至在量子力学中,两粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开兔子数列。要说现代科学的发展有兔子的贡献,应该也不为过吧。 臧磊

(题图图源:视觉中国)

校对 李海慧

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